\begin{abstract}
    
    粗糙集(Rough Set,RS)\cite{陈德刚2019粒计算基础教程,张文修2003信息系统与知识发现} 是处理不精确，不确定的有效数学工具，由Pawlak教授在1982年提出。RS 的研究对象是信息系统，且不需要额外的先验知识来分析数据.
    
    信息系统的定义是一个数据库,类似表 \ref{tab:t1}.
    
        \begin{table}[htbp]
            \centering
            \caption{信息系统}
            \label{tab:t1}
            \setlength{\tabcolsep}{1cm}
            \begin{tabular}{cccc}
                \toprule
                U & $a_1$ &$ a_2$ &$ a_3 $\\ 
                \midrule
                $x_1$ & 2 & 1 & 3 \\ 
                $x_2$ & 3 & 2 & 1 \\ 
                $x_3$ & 2 & 1 & 3 \\ 
                $x_4$ & 2 & 2 & 3 \\ 
                \bottomrule
            \end{tabular}
        \end{table}
    
        通过一些特定的二元关系 $R\in U\times U$ 将论域 $U$ 分为一些粒 
        $$ [x]_R = \left\{ y\in U\Big|(x,y)\in R \right\} $$
    
        通过粒来表示上下近似,$X\subseteq U$ 
        $$ \underline{R}X = \left\{ x\in U\Big|[x]_R\subset X \right\} $$
        $$ \overline{R}X = \left\{ x\in U\Big|[x]_R\bigcap X \ne \varnothing \right\} $$
    
        通过定义一些属性从而完成一些特定的操作(属性约简、聚类等).在这篇报告里详细介绍各种粗糙集、信息系统以及他们的属性约简方法.还有假期看的一些感兴趣的文章, 使用Python实现了一下.
    \end{abstract}